« 22 »  02  20 15 г.




Тригонометрические формулы с примерами

Тригонометрические уравнения Тригонометрические уравнения Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида. Рассмотрим, при каких значениях тригонометрические уравнения разрешимы и как правильно находить все решения таких уравнений. Далее, из-за периодичности функциикаждому значению соответствует бесконечное множество решений. Поэтому все решения описываются формулами: или обобщенной формулой. На рисунке 1 члены первой последовательности отмечены кружками, а второй - квадратами. Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения: а 0 1 -1 Пример. Данное уравнение имеет тогда и только тогда, когда. Множество решений записывается в виде. Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения: а 0 1 -1 Пример. Данное уравнение разрешимо при любом. Тригонометрические формулы с примерами решения задаются формулой. Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения: а 0 1 -1 Тригонометрические формулы с примерами. Данное уравнение разрешимо при любом. Все решения задаются формулой. Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения: а 0 1 -1 Заметим, что. Основные методы решения Любое тригонометрическое уравнение в процессе решения с помощью надлежащих преобразований должно быть приведено к тригонометрические формулы с примерами. Наиболее часто при решении тригонометрических уравнений применяются следующие методы: разложение на множители; способ замены сведение к алгебраическим уравнениям ; сведение к уравнениям, однородным относительно и ; преобразование суммы тригонометрических функций в произведение; преобразование произведения тригонометрических функций в сумму; использование формул понижения степени; равенство одноименных тригонометрических функций; равенство одноименных тригонометрических функций введение вспомогательного аргумента. При этом, как правило, в процессе решения тригонометрического уравнения приходится использовать не один, а несколько из указанных выше методов. Способ замены Данным методом решаются уравнения вида. Они сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью замены или. Уравнения не являются с виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим:. При решении уравнений этим методом необходимо знать формулы: Пример 1. Это уравнение является квадратным относительно. В результате получим уравнение. Его корни:то есть получаем уравнение или. Второе уравнение не имеет корней. Так както уравнение можно представить в виде. Получим тригонометрические формулы с примерами уравнениерешая которое, имеем: ,то есть. Таким образом, получим два простейших уравнения или. Решая их, имеем или. Ответ: Однородные уравнения Уравнения:,называются однородными относительно и. Они обладают тем свойством, тригонометрические формулы с примерами сумма показаний степеней при и у всех членов уравнения одинакова. Делением на соответственно уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям относительно. При этом, конечно, предполагается, что коэффициент. В результате получаем равносильное уравнение, так как разделили на если быто из исходного уравнения следует, что иа это невозможно, так как и при одном и том же значении х в нуль не обращаются, ибо всегда. Уравнение легко сводится к однородному, если правую часть представить в виде. После тригонометрические формулы с примерами преобразований получаем. Это уравнение является однородным относительно и. Введем новую переменную и решим квадратное уравнение. Решая их, найдем: или. Это уравнение, сводящееся к однородному. Имеем то есть получили однородное уравнение. Разделив обе части уравнения наполучим. Решая это уравнение, тригонометрические формулы с примерами относительнонайдем, что либо. Разложение тригонометрические формулы с примерами множители При решении уравнений этим методом нужно пользоваться известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Необходимо также знать уже приведенные формулы и тригонометрические формулы с примерами Пример 1. Применяя формулу синуса двойного угла, получим. Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:. Уравнение преобразуем к видуимеющему решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим ее на множители: Отсюда следует, что или тригонометрические формулы с примерами, то есть имеем уравнение или. Решая их, получим или. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение При решение уравнений данным тригонометрические формулы с примерами необходимо знать формулы: Пример. Пользуясьвыше приведенной формулойпреобразуем разность синусов в произведение:. В результате имеем уравнениеоткуда или. Решая эти уравнения, получим. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы: Пример. Преобразуем по выше приведенным формулам левую и правую части уравнения. В результате тригонометрические формулы с примерамииначето есть. Преобразовывая теперь в произведение сумму косинусов, будем иметьоткуда или. Использование формул понижения степени При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы: Пример. Сразу заметим, чтоаи уравнение принимает вид. Используявыше приведенные формулы, перепишем его в видето есть. Преобразуем суммы косинусов в произведения, тогда получим Наконец, преобразовывая разность косинусов в произведение, получим. Задача свелась к решению совокупности трех тригонометрические формулы с примерами или илииз которой находим три семейства решений заданного уравнения:. Однако ответ можно записать в видепоскольку он содержит в себе два других семейства чтобы убедиться в этом, достаточно положить или. Равенство одноименных тригонометрических функций Данным методом решаются уравнения вида. Для того чтобы синусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий. Для того чтобы косинусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнения одного из условий. Для того чтобы тангенсы двух углов были равны, необходимо и достаточно, одновременное выполнение двух условий. На основании условий равенства двух синусов имеем: или. Ответ: Введение вспомогательного аргумента Метод основан на преобразовании выражениягде a и b — постоянные, не обращающиеся в нуль одновременно. Введем уголположив. Тогда:где находится из уравнения. Так както и уже являются соответственно косинусом и синусом определенного угла; ясно, что этот угол. Решая это уравнение, имеем. Уравнение, рассмотренное в последнем примере, имеет вид. Однако решить такие уравнения можно и другими методами. Метод рационализации для уравнения вида Известно, что еслито выражаются рационально через. Вводим вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки получилось рациональное уравнение относительно вспомогательного неизвестного. Данное уравнение можно переписать в виде. Положимтогда тригонометрические формулы с примерами. Решим данное уравнение и получим следующие ответы 1. Приведение к однородному тригонометрические формулы с примерами уравнения вида Данное уравнение перепишем в видет.




Александр Смирнов

Преобразуем по выше приведенным формулам левую и правую части уравнения.